高等数学测试：极限与连续核心公式与自测演练

极限是高等数学的基石，也是各类高等数学测试（期中、期末、考研、算法岗笔试）的高频考点。本文用最精炼的方式梳理极限与连续的核心公式与判别方法，并给出一套可立即上手的自测题，帮助你检验掌握程度。

一、核心公式速览

1. 数列极限的 定义

对任意给定的 ，若存在正整数 ，使得当 时恒有 ，则称数列 收敛于 ，记作：

直观理解：无论要求数列项与极限值 的误差多小（ 多小），总能找到一个"起点" ，使之后的所有项都落在区间 内。

2. 函数极限的 定义

对任意 ，存在 ，当 时恒有 ，则：

3. 左右极限与极限存在的充要条件

函数极限 存在，当且仅当左右极限都存在且相等：

常见"极限不存在"的情形：左右极限不相等（如符号函数 在 处）、函数值无限增大（）。

4. 极限的四则运算法则

若 ，，则：

5. 等价无穷小替换（重点！）

当 时，下列等价关系成立，常用于化简 型极限：

注意：等价无穷小只能在乘除因子中整体替换，不能在加减项里随意替换，否则容易出错。

6. 洛必达法则

对 型或 型未定式，在满足条件时：

可重复使用，直到得出确定值或转化为其他类型。

7. 连续性的定义

函数 在 处连续，当且仅当：

即"极限值等于函数值"。典型结论：可导必连续，连续未必可导。

二、自测演练

下面给出 5 道自测题，先自己算，再看解析。每题都可直接用于高等数学测试的模拟训练。

题 1（判断） 若 ，则必有 。（ ）

题 2（计算） 求极限：。

题 3（计算） 求极限：。

题 4（判断） 函数 在 处的极限存在。（ ）

题 5（计算） 已知 ，用等价无穷小求之。

自测解析

题 1：正确。 由 定义，当 时有 ；取 ，则 同样成立，于是 ，即 。去掉首项不改变收敛性与极限。

题 2： 利用 ，令 ：

也可由 直接得到 。

题 3： 由 得：

题 4：错误。 ，，左右极限不相等（且不为有限数），故极限不存在。

题 5： 由 ，令 ：

三、查漏补缺清单

对照下表，凡是答错的考点，回到对应公式重点复习：

四、小结

1. 极限存在 左右极限存在且相等；
2. 等价无穷小是化简 型极限的利器，但只替换乘除因子；
3. 、 型优先考虑洛必达法则；
4. 连续性等价于 ，"可导必连续"。

把这份公式与自测再过一遍，应对高等数学测试中"极限与连续"模块就会从容很多。建议配合带公式的题库（如判断、计算混合练习）进一步巩固。